Cas général

On considère un cercle  \((C)\)  de centre  `\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})`  et de rayon \(R>0\) . Soit  \(\text{M}(x;y)\)  un point du cercle  \((C)\) .
1. Justifier que  \(\text{AM}^2=R^2\) .  
2. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AM}}\)  puis exprimer \(\text{AM}^2\)  en fonction de  \(x_\text{A},y_\text{A},x\)  et  \(y\)  dans l'équation   \(\text{AM}^2=R^2\) . 
3. Démontrer que, si le point  \(\text M(x;y)\) appartient à \((C)\) , alors il existe trois réels   \(a,b\) , \(c\) , non simultanément nuls, tels que \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) . Préciser l'expression de  \(a,b\) , \(c\)   en fonction de \(x_A,y_A,R\) .
L'équation ainsi obtenue s'appelle équation cartésienne du cercle  \((C)\) .
4. Donner les expressions de  \(x_A,y_A,R\) en fonction de \(a,b\) , \(c\)   puis traduire la condition  \(R>0\)   en une condition sur les trois réels \(a,b\) , \(c\) .