Cas général

On considère un cercle  $(C)$  de centre  $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}})$  et de rayon $R>0$ . Soit  $\text{M}(x;y)$  un point du cercle  $(C)$ .
1. Justifier que  ${\text{AM}}^2=R^2$ .  
2. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$  puis exprimer ${\text{AM}}^2$  en fonction de  $x_{\text{A}},y_{\text{A}},x$  et  $y$  dans l'équation   ${\text{AM}}^2=R^2$ . 
3. Démontrer que, si le point  $\text{M}(x;y)$ appartient à $(C)$ , alors il existe trois réels   $a,b$ , $c$ , non simultanément nuls, tels que $x^2+y^2+ax+by+c=0$ . Préciser l'expression de  $a,b$ , $c$   en fonction de $x_A,y_A,R$ .
L'équation ainsi obtenue s'appelle équation cartésienne du cercle  $(C)$ .
4. Donner les expressions de  $x_A,y_A,R$ en fonction de $a,b$ , $c$   puis traduire la condition  $R>0$   en une condition sur les trois réels $a,b$ , $c$ .